Maths

De TravauxIndse

Voici une version "simplifié", qui correspond à ce qui doit être maîtrisé pour s'en sortir en math dans le secondaire...

Sommaire

Arithmétique

Ensembles mathématiques

  • Naturels(\mathbb{N}): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...
  • Entiers(\mathbb{Z}): 0, 1, -15, 7, -8 752 366...
  • Décimaux(\mathbb{D}): 5.0, 2.3, 0.089...
  • Rationnels(\mathbb{Q}): 0.33333, 6/17...
  • Réels(\mathbb{R}):  \sqrt{2} , π, ... (Ces deux exemples peuvent aussi être appelés "nombres irrationnels")
  • Complexes(\mathbb{C}): 5+8i, 7+i... (en 6ème)


NB : Un nombre irrationnel est un nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction \frac{a}{b}, où a et b sont deux entiers relatifs (avec b non nul).

NB : Un nombre naturel est un nombre entier qui est un nombre décimal qui est un rationnel qui est un réel et qui est un complexe. Mais un complexe n'est pas forcément un réel, ni rationnel, ni décimal, ni entier, ni naturel.

Ensemble nombres couleurs.png

Priorité des opérations

  • Ordre à suivre:
    • Parenthèses
    • Puissances
    • Multiplications/divisions
    • Additions/soustractions
        Théorie et exemples Partie 1
        Théorie et exemples Partie 2
     -> Exercices

Fractions

Algèbre

Les règles de l'arithmétique s'appliquent [exemple de CE]

conditions d'existence

  • fractions : le dénominateur doit être différent de zéro

ex :  \frac{1}{x} \Rightarrow \; x \ne \; 0 ou  \frac{4+x}{2-x} \Rightarrow \; 2-x \ne \; 0 \Rightarrow \; -x \ne \; -2 \Rightarrow \; x \ne \; 2

  • racines d'un nombre pair : ce qui est compris sous la racine doit être > 0
  • tangentes/cotangentes
  • fonctions réciproques (arcsin,arctan,..)
  • logarithmes

premier degré

Polynômes (ou degrés suivants)

équations

produits remarquables

  1. (A + B)2 = A2 + 2 * A * B + B2
  2. (AB)2 = A2 − 2 * A * B + B2
  3. (A + B) * (AB) = A2B2
  4. produits remarquables

limites

Dérivés

formulaire

Formules générales

(f(x) ± g(x))' = f(x)' ± g(x)'

(f(x).g(x))0 = f(x)'g(x) + f(x)g(x)'

(f(x)/g(x))'=f(x)'-g(x) − f(x)g(x)'/g(x)²

(k.f(x))' = k.f(x)'

Formules particulières

Fd 4 1.jpg

Analyse

[études de fonctions]

[1]

  • notations
  • domaine
  • racines : on égale la fonction à zéro puis isole x. Ex :  5+3x=0 \Rightarrow \; x= \frac{-5}{3}
  • asymptotes : adhérence du domaine de définition de la fonction numérique f "moins" le domaine de définition de la fonction numérique f
              (adhdom f\dom f): *si adhdom f\dom f={nombre(s)} alors on cherche une asymptote verticale AV a pour équation x=nombre. 
                                 On doit donc trouver une limite de x qui tend vers ce nombre. Si la limite tend vers l'infini 
                                 alors on aura une asymptote verticale en ce nombre. Sinon il n'y a pas d'AV.
                                *si adhdom f\dom f={+ ou - l'infini} alors on cherche une asymptote horizontale AH a pour équation y=nombre. 
                                 On doit donc trouver une limite de x qui tend vers l'infini. si la limite est égale à un naturel 
                                 alors on aura une asymptote horizontale en ce naturel. Sinon il n'y a pas d'AH. on doit alors chercher une 
                                 asymptote oblique (AO).
                                *Une asymptote oblique est une asymptote qui nécessite 2 limites différentes: 
                                **la première est celle qui détermine le coéfficient angulaire, c-à-d, la limite de x qui tend vers l'infini 
                                  de la fonction ou la la limite de x qui tend vers l'infini de la fonction de x divisé par x=a. 
                                **la deuxième escelle qui fait varier les ordonées, la limite de x qui tend vers l'infini de f(x)-ax=b 
                                 si "a" existe une AO, "b" ne doit pas forcément exister. donc on aura une AO qui a pour équation y=ax+b.               
  • intersection avec l'axe OY : on remplace x par 0. Ex : f(x)= 5+3*x+x-1 \rightarrow f(0)= 5+0+0-1 = 4
  • parité
    • si f(x) = f(-x) alors la fonction est paire
    • si f(-x) = -f(x) alors la fonction est impaire
  • tableaux (signe, croissance, concavité)
    • on place les racines de la dérivée première et la dérivée seconde ainsi que leurs signe
      • dérivée première :  >0 \Rightarrow fonction \nearrow \; ; <0 \Rightarrow fonction  \searrow \;
      • si dérivée seconde positive alors fonction avec concavité  \cup si dérivée seconde négative alors fonction avec concavité  \cap
  • tableau récapitulatif comprenant les tableaux de signe de la dérivéé première et seconde.
  • représentations (graphique)

Types

Trigonométrie

dans les triangles

dans le cercle

formules

Formules trigo dans le cercle
Formule fondamentales Formules de base Formules d'addition Formules de duplication Formules de Carnot Formules de Simpson
cos2(x) + sin2(x) = 1  tan(x)= \frac{sin(x)} {cos(x)} cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) sin(2a) = 2sin(a)cos(a) 1 + cos(2a) = 2cos2(a)  sin(p)+sin(q)= 2sin \left (  \frac{p+q} {2}\right ) cos \left (  \frac{p-q} {2}\right )
cos(ab) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) cos(2a) = cos2(a) − sin2(a) 1 − cos(2a) = 2sin2(a)  sin(p)-sin(q)= 2sin \left (  \frac{p-q} {2}\right ) cos \left (  \frac{p+q} {2}\right )
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)  cos(p)+cos(q)= 2cos \left ( \frac{p+q} {2} \right ) cos  \left ( \frac{p-q} {2}\right )
sin(ab) = sin(a)cos(b) − sin(b)cos(a)  cos(p)-cos(q)= -2sin \left (  \frac{p+q} {2}\right ) sin \left (  \frac{p-q} {2}\right )
 tan(a-b) = \left (  \frac{tan(a) - tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right )
 tan(a+b) = \left (  \frac{tan(a) + tan(b)} {1 - tan(a)tan(b)}\right )

calcul intégral

définition

  • définition: une fonction F(x), dont la dérivée est f(x), s'appelle primitive de f(x).
    • exemple:

la primitive de f(x)=3x² est est F(x)=x³ ou F(x)=x³+1 ou encore F(x)=x³-1 ==> F(x)=x³+k où k est une constante et la dérivéé d'une constante vaut toujours 0 donc la primitive de f(x)=3x² a une infinité de réponses (F(x)=x³+k).

    • preuve:

Co-construction wiki.png

la fonction noire: f(x)=x²

           verte: f(x)=x²+3
           jaune: f(x)=x²+1
           rouge: f(x)=x²-1
           bleue: f(x)=x²+2

si on dérive chaque fonction on obtient f'(x)=2x. On a prouvé que les dérivées sont les mêmes pour toutes les fonctions et elles varient des unes des autres à une constante près . ==> la dérivé d'une constante "k"=0

  • La dérivée première ne change pas, sauf les extrémum changent en ordonnées, l'axe Oy.
 car (x²)'=2x
 car (x²+1)'=2x
  • La dérivée seconde ne change pas non plus car les concavités restent les mêmes.
 car (2x)'=2
 car (2x)'=2

MAIS une primitive f(x)=3x² qui s'annule en x=3 ne peut être F(x)=x³-3. Il n'y a qu'un endroit où cette fonction s'annule en x=3.

formules

intégration immédiate

intégration par substitution

intégration par partie

intégration par décomposition

vecteurs