Formules

Formules d'addition (démonstrations)

1. $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$

• $[cos(a-b)-1]^{2}+[sin(a-b)-0]^{2}=(cos(b)-cos(a))^{2}+(sin(b)-sin(a))^{2}$
• $cos^{2}(a-b)-2cos(a-b)+1+sin^{2}(a-b)=cos^{2}(b)-2cos(b)cos(a)+cos^{2}(a)+sin^{2}(b)-2sin(b)sin(a)+sin^{2}(a)$
• $2-2cos(a-b)=2-2cos(a)cos(b)-2sin(a)sin(b)$
• $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$

2. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) }

On remplace b par -b dans la formule cos (a-b)

• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle cos (a–(-b)) = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b) }

Or,

• $cos(-b)=cos(b)$
• $sin(-b)=-sin(b)$

Donc,

• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) }

3. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a) }

• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = cos(π/2 –(a–b)) }
• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = cos ((π/2 – a)+ b) }
• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = cos (π/2 – a) cos(b) – sin (π/2 – a) sin(b) }
• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b) }

4. $sin(a+b)=sin(a)cosb+sin(b)cos(a)$

On remplace b par -b dans la formule sin(a–b)

• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a+b) = sin(a –(-b)) }
• Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a+b) = sin(a)cos(-b) – cos(a)sin(-b) }
• $sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$

5. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle tan(a-b) = \left ( \frac{tan(a) – tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right ) }

• $tan(a-b)=\left({\frac {sin(a-b)}{cos(a-b)}}\right)$
• $tan(a-b)=\left({\frac {sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)}}\right)$

A condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.

• $tan(a-b)=\left({\frac {tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}}\right)$

6. $tan(a+b)=\left({\frac {tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}}\right)$

Dans la formule $tan(a-b)$ on remplace b par -b

• $tan(a-(-b)=\left({\frac {tan(a)-tan(-b)}{1+tan(a)tan(-b)}}\right)$
• $tan(a+b)=\left({\frac {tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)}}\right)$