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====Formules d'addition (démonstrations)==== | ====Formules d'addition (démonstrations)==== | ||
=====1. <math> cos (a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) </math>===== | |||
* <math> [cos (a-b)-1]^2 + [sin(a-b)-0]^2 = (cos(b)-cos(a))^2 + (sin(b)-sin(a))^2 </math> | * <math> [cos (a-b)-1]^2 + [sin(a-b)-0]^2 = (cos(b)-cos(a))^2 + (sin(b)-sin(a))^2 </math> | ||
* <math> cos^2(a-b) - 2cos(a-b) + 1 + sin^2(a-b) = cos^2(b) - 2cos(b)cos(a) + cos^2(a)+ sin^2(b) - 2 sin(b)sin(a)+ sin^2(a) </math> | * <math> cos^2(a-b) - 2cos(a-b) + 1 + sin^2(a-b) = cos^2(b) - 2cos(b)cos(a) + cos^2(a)+ sin^2(b) - 2 sin(b)sin(a)+ sin^2(a) </math> | ||
* <math> 2 - 2 cos(a-b) = 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sin(a)sin(b) </math> | * <math> 2 - 2 cos(a-b) = 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sin(a)sin(b) </math> | ||
* <math> cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) </math> | * <math> cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) </math> | ||
=====2. <math> cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) </math>===== | |||
On remplace b par -b dans la formule cos (a-b) | |||
* <math> cos (a–(-b)) = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b) </math> | |||
Or, | |||
* <math> cos(-b) = cos(b) </math> | |||
* <math> sin(-b) = -sin(b) </math> | |||
Donc, | |||
* <math> cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) </math> | |||
=====3. <math> sin(a–b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a) </math>===== | |||
* <math> sin(a–b) = cos(π/2 –(a–b)) </math> | |||
* <math> sin(a–b) = cos ((π/2 – a)+ b) </math> | |||
* <math> sin(a–b) = cos (π/2 – a) cos(b) – sin (π/2 – a) sin(b) </math> | |||
* <math> sin(a–b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b) </math> | |||
=====4. <math> sin(a+b) = sin(a)cos b + sin(b)cos(a) </math>===== | |||
On remplace b par -b dans la formule sin(a–b) | |||
* <math> sin(a+b) = sin(a –(-b)) </math> | |||
* <math> sin(a+b) = sin(a)cos(-b) – cos(a)sin(-b) </math> | |||
* <math> sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) </math> | |||
=====5. <math> tan(a-b) = \left ( \frac{tan(a) – tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right ) </math>===== | |||
*<math> tan (a-b) = \left ( \frac{sin (a-b)} {cos (a-b)}\right ) </math> | |||
*<math> tan (a-b) = \left ( \frac{sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)} {cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)}\right ) </math> | |||
A condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b. | |||
*<math> tan (a-b) = \left ( \frac{tan(a) - tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right ) </math> | |||
=====6. <math> tan(a+b) = \left ( \frac{tan(a) + tan(b)} {1 - tan(a)tan(b)}\right ) </math>===== | |||
Dans la formule <math> tan(a-b) </math> on remplace b par -b | |||
* <math> tan (a-(-b) = \left ( \frac{tan(a) - tan(-b)} {1 + tan(a)tan(-b)}\right ) </math> | |||
* <math> tan(a+b) = \left ( \frac{tan(a) + tan(b)} {1 - tan(a)tan(b)}\right ) </math> | |||
Dernière version du 27 février 2014 à 08:50
Formules d'addition (démonstrations)[modifier]
1. [modifier]
![{\displaystyle [cos(a-b)-1]^{2}+[sin(a-b)-0]^{2}=(cos(b)-cos(a))^{2}+(sin(b)-sin(a))^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8d4502eae24d6fbf2ad1a56280e4f0e5f022fd)
2. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) } [modifier]
On remplace b par -b dans la formule cos (a-b)
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle cos (a–(-b)) = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b) }
Or,
Donc,
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) }
3. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a) } [modifier]
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = cos(π/2 –(a–b)) }
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = cos ((π/2 – a)+ b) }
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = cos (π/2 – a) cos(b) – sin (π/2 – a) sin(b) }
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a–b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b) }
4. [modifier]
On remplace b par -b dans la formule sin(a–b)
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a+b) = sin(a –(-b)) }
- Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle sin(a+b) = sin(a)cos(-b) – cos(a)sin(-b) }
5. Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle tan(a-b) = \left ( \frac{tan(a) – tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right ) } [modifier]
A condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.
6. [modifier]
Dans la formule on remplace b par -b
