Formules

Formules d'addition (démonstrations)

1. $cos (a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)$

• $[cos (a-b)-1]^2 + [sin(a-b)-0]^2 = (cos(b)-cos(a))^2 + (sin(b)-sin(a))^2$
• $cos^2(a-b) - 2cos(a-b) + 1 + sin^2(a-b) = cos^2(b) - 2cos(b)cos(a) + cos^2(a)+ sin^2(b) - 2 sin(b)sin(a)+ sin^2(a)$
• $2 - 2 cos(a-b) = 2 - 2cos(a)cos(b) - 2sin(a)sin(b)$
• $cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)$

2. $cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)$

On remplace b par -b dans la formule cos (a-b)

• $cos (a–(-b)) = cos(a)cos(-b) + sin(a)sin(-b)$

Or,

• $cos(-b) = cos(b)$
• $sin(-b) = -sin(b)$

Donc,

• $cos(a+b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)$

3. $sin(a–b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a)$

• $sin(a–b) = cos(π/2 –(a–b))$
• $sin(a–b) = cos ((π/2 – a)+ b)$
• $sin(a–b) = cos (π/2 – a) cos(b) – sin (π/2 – a) sin(b)$
• $sin(a–b) = sin(a)cos(b) – cos(a)sin(b)$

4. $sin(a+b) = sin(a)cos b + sin(b)cos(a)$

On remplace b par -b dans la formule sin(a–b)

• $sin(a+b) = sin(a –(-b))$
• $sin(a+b) = sin(a)cos(-b) – cos(a)sin(-b)$
• $sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)$

5. $tan(a-b) = \left ( \frac{tan(a) – tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right )$

• $tan (a-b) = \left ( \frac{sin (a-b)} {cos (a-b)}\right )$
• $tan (a-b) = \left ( \frac{sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a)} {cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)}\right )$

A condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.

• $tan (a-b) = \left ( \frac{tan(a) - tan(b)} {1 + tan(a)tan(b)}\right )$

6. $tan(a+b) = \left ( \frac{tan(a) + tan(b)} {1 - tan(a)tan(b)}\right )$

Dans la formule $tan(a-b)$ on remplace b par -b

• $tan (a-(-b) = \left ( \frac{tan(a) - tan(-b)} {1 + tan(a)tan(-b)}\right )$
• $tan(a+b) = \left ( \frac{tan(a) + tan(b)} {1 - tan(a)tan(b)}\right )$